一些数学库函数有存在的必要吗？
本文将给出一些在 C 数学库中乍一看似乎不必要存在的函数示例。
函数 log1p(x) = log(1 + x)
函数 log1p 计算 log(1 + x)。这有多难实现呢？
1 | log(1 + x); |
好了。
等等。。。如果 x 非常小呢？例如，如果 x 是 $10^{-16}$，那么在典型系统上会出现 1 + x = 1，因为机器精度缺乏足够的有效位来区分 1 + x 和 1（参见这里了解更多）。这意味着代码 log(1 + x) 会先计算 1 + x，得到 1，然后计算 log(1)，返回 0。但是 $log(1 + 10^{-16}) \approx 10^{-16}$ 。这意味着绝对误差约 $10^{-16}$ ，而 **相对误差为 100%**。对于那些比 $10^{-16}$ 大但总体还是相当小的数来说，代码 log(1 + x) 可能并不完全不正确，但是相对误差还是大的不可接受。
幸运的是，这是一个很好解决的问题。对于小的 x 值，log(x + 1) 约等于 x。所以对于非常小的参数，只需要返回 x。对于大的参数，直接计算 log(1 + x)。具体细节参见这里。
为什么这很重要？即使代码对于非零的答案直接返回零，其绝对误差也很小。这不是还可以吗？是的，它可能是可行的。这取决于你下一步做什么——如果将结果添加到大量数据中，那么答案中的相对误差无关紧要；但是如果将结果乘以大数，大的相对误差也会变成大的绝对误差。
函数 expm1(x) = exp(x) - 1
另一个似乎不必要的函数是 expm1。这个函数计算 $e^x-1$。为什么不写成这样？
1 | exp(x) - 1.0; |
对于适当的 x 来说这能很好的工作。但是，对于非常小的 x 值，exp(x)接近于 1，这可能会导致太接近 1 以至于在机器精度上实际就是 1。在这种情况下，代码 exp(x) - 1 将返回 0 并产生 100％ 的相对误差。和上面的一样，对于稍微大一点的 x 值，朴素代码不会完全错误，但可能不如所需的精确。解决方案是直接计算 exp(x) - 1，而不是先计算 exp(x)。exp(x) 的泰勒级数是 $1+x+\frac{x^2}{2}...$，所以对于非常小的 x，exp(x) - 1 返回 x。对于稍大的 x，可以返回 $x + x^2/2$。（具体细节参见这里）
函数 erf(x) 与 erfc(x)
C 数学库包含一对函数 erf 与 erfc。结尾的 c 代表互补（complement），因为 erfc(x) = 1 - erf(x)。 函数 erf(x) 被称为误差函数，实现并不容易。但是为什么还有一个单独的 erfc 函数？一旦你有 erf 的代码实现它不是很容易吗？对于某些 x 的值来说，这是真的。但是，如果 x 很大，则 erf(x) 接近 1，当结果很小且为正时，代码 1 - erf(x) 可能会返回 0。和上面的例子一样，朴素的实现会导致某些值精度的完全丧失，其他一些值精度也会部分丢失。
函数 $\Gamma(x)$ 与 $log\Gamma(x)$
标准 C 数学库有两个与 gamma 函数相关的函数：返回 $\Gamma(x)$ 的 tgamma 和返回 $log\Gamma(x)$ 的 lgamma。为什么有两个？为什么后者不能使用前者的对数？gamma 函数的增长非常快。对于一般大小的参数，其值超过计算机数值的容量。 有时你可能需要这些天文数字大小的值作为中间结果。你需要一个适当大小的数作为两个非常大的值的比值（这里有一个例子）。在这种情况下，只需要将 lgamma 值相减，而不是用 tgamma 的值相比。（为什么函数叫做 tgamma 而不是 gamma？请参阅这篇文章的最后一段与第一条评论）
总结
标准 C 数学库汲取了许多经验。对于一些参数来说有些函数是不必要的，但是，对于另一些参数来说它们是不可或缺的。