Savitzky-Golay 滤波平滑与n阶导数系数的推导
一组 $2m + 1$ 个连续值通过n次多项式（$n < 2m + 1$）确定最佳均方拟合。该多项式的形式如下：
$$f_i = \sum_{k=0}^{k=n}b_{nk}i^k = b_{n0} + b_{n1}i + b_{n2}i^2 + … + b_{nn}i^n$$
该多项式的导数为：
$$\frac{df_i}{di} = b_{n1} + 2b_{n2}i + 3b_{n3}i^2 + … + nb_{nn}i^{n-1}$$
$$\frac{d^2f_i}{di^2} = 2b_{n2} + 3 \times 2 b_{n3}i + … + n(n - 1)b_{nn}i^{n - 2}$$
$$\frac{d^nf_i}{di^n} = n!b_{nn}$$
注意，在所考虑的坐标系中，i的值在-m到+m的范围内，且对于 $2m +1$ 个值的集合，$i = 0$ 在中心。因此，此时8阶导数的值由下式给出：
$$\bigl( \frac{d^8f_i}{di^8} \bigr)_ {i = 0} = 8!b_{n8} = a_{n8}$$
其中，
$$f_0 = b_{n0} = a_{n0}$$
$$\frac{df_0}{di} = b_{n1} = a_{n1}$$
$$\frac{d^2f_0}{di^2} = 2b_{n2} = a_{n2}$$
最小平方准则要求观测值$y_i$和计算值$f_i$之间差值的平方和，在所考虑的区间内，为最小值。
$$\frac{\partial}{\partial b_{nk}} \bigl [ \sum_{i = -m}^{i = m}(f_i - y_i)^2 \bigr ] = 0$$
关于$b_{n0}$最小化，我们有
$$\frac{\partial}{\partial b_{n0}} \bigl [ \sum_{i = -m}^{i = m} (b_{n0} + b_{n1} i + … + b_{nn}i^n - y_i)^2\bigr ] = 2 \sum_{i = -m}^{i=m} (b_{n0} + b_{n1}i + … + b_{nn}i^n - y_i) = 0$$
关于$b_{ni}$最小化，我们有
$$\frac{\partial}{\partial b_{ni}} \bigl[ \sum_{i=m}^{i=-m} (b_{n0} + b_{n1}i + … + b_{nn}i^n -y_i)^2 \bigr] = 2 \sum_{i=-m}^{i=m}(b_{n0} + b_{n1}i + … + b_{nn}i^n - y_i) i = 0$$
关于$b_{nr}$最小化，我们可得
$$2\sum_{i = -m}^{i = m} \bigl[ (\sum_{k = 0}^{k = n}b_{nk}i^k) - y_i \bigr] i^r = 0$$
或者
$$\sum_{i=-m}^{i=m}\sum_{k=0}^{k=n} b_{nk}i^{k+r} = \sum_{i=-m}^{i=m}y_ii^r$$
其中r是代表从0到n的方程数的索引（有n+1个方程）。左侧的求和可以互换，亦即，
$$\sum_{i=-m}^{i=m}\sum_{k=0}^{k=n} b_{nk}i^{k+r} = \sum_{k=0}^{k=n}\sum_{i=-m}^{i=m}b_{nk}i^r$$
最后，由于$b_{nk}$是独立于i的，
$$\sum_{k=0}^{k=n}b_{nk}\sum_{i=-m}^{i=m}i^{k+r} = \sum_{i=-m}^{i=m}y_ii^r = F_k$$
或者，
$$\sum_{k=0}^{k=n}b_{nk}S_{r+k} = F_k$$
其中，
$$S_{r+k} = \sum_{i=-m}^{i=m}i^{r+k} \tag {Vc}$$
$$F_k = \sum_{i=-m}^{i=m} i^k y_i$$
请注意，对于r+k为奇数时，$S_{r+k} = 0$。因为$S_{r+k}$只存在于r+k为偶数，所以n+1个方程的集合可以分成两组，一组用于k为偶数，一组用于奇数。因此，对于5次多项式，其中$n=5$
$$S_0b_{50} + S_2b_{52} + S_4b_{54} = F_0$$
$$S_2b_{50} + S_4b_{52} + S_6b_{54} = F_2 \tag {VIa}$$
$$S_4b_{50} + S_6b_{52} + S_8b_{54} = F_4$$
可用来解$b_{50}$、$b_{52}$和$b_{54}$，而
$$S_2b_{51} + S_4b_{53} + S_6b_{55} = F_1$$
$$S_4b_{51} + S_6b_{53} + S_8b_{55} = F_3 \tag {VIb}$$
$$S_6b_{51} + S_8b_{53} + S_10b_{55} = F_5$$
可用来解$b_{51}$、$b_{53}$和$b_{55}$。式VIa方程组与n=4的情况具有相同的形式，所以，$b_{40} = b_{50}$、$b_{42}=b_{52}$和$b_{44} = b_{54}$而方程组VIb与n=5具有相同的形式，所以，$b_{51} = b_{61}$、$b_{53} = b_{63}$和$b_{55}=b_{65}$。换言之，$b_{ns} = b_{n+1, s}$，若n与s都是偶数，或者都是奇数。例如，为了确定三次（或四次）曲线的三阶导数的最佳拟合，我们有：
$$S_2b_{31} + S_4b_{33} = F_1$$
$$S_4b_{31} + S_6b_{33} = F_3$$
$$b_{33} = \frac{S_2F_3 - S_4F_1}{S_2S_6 - {S_4}^2}$$
例如，当m = 4（2m + 1 = 9点）时，从式Vc得到
$$S_2 = 60, \quad S_4=708, \quad S_6=9780$$
$$b_{33} = \frac{60F_3 - 708F_1}{60(9780) - 708^2} = \frac{F_3 - 7F_1}{7128}$$
$$\frac{-14y_{-4} +7y_{-3} + 13y_{-2} + 9y_{-1} + 0y_0 - 9y_1 - 13y_2 -7y_3 + 14y_4}{1188}$$
$y_i$的系数构成一个三次多项式的三阶导数的卷积整数，该三次多项式是由最小二乘拟合9点确定。因为a33的值是3!b23，上述表达式中的分母必须除以6，才能得到198这个归一化因子。
在所有上述推导中，假设采样间隔与绝对横坐标间隔相同，也即，$\Delta x = 1$。否则，$\Delta x$的值必须包含在归一化过程中。因此，为了在一组m个值的中心点计算s阶导数，基于n次多项式拟合，我们必须计算
$$a_{nsm} = s!b_{nsm} = \frac{\sum_{i=-m}^{i=m} C_{ism}y_i}{\Delta^s N_{sm}}$$
请注意，由于$\Delta x^0 = 1$，在平滑的情况下，时间间隔无关紧要。
本文节选自：Savitzky A, Golay M J E. Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures[J]. Analytical chemistry, 1964, 36(8): 1627-1639.