Savitzky-Golay 滤波平滑与n阶导数系数的推导

一组$2m + 1$个连续值通过n次多项式($n < 2m + 1$)确定最佳均方拟合。该多项式的形式如下:

该多项式的导数为:

注意,在所考虑的坐标系中,i的值在-m到+m的范围内,且对于$2m +1$个值的集合,$i = 0$在中心。因此,此时8阶导数的值由下式给出:

其中,

最小平方准则要求观测值$y_i$和计算值$f_i$之间差值的平方和,在所考虑的区间内,为最小值。

关于$b_{n0}$最小化,我们有

关于$b_{ni}$最小化,我们有

关于$b_{nr}$最小化,我们可得

或者

其中r是代表从0到n的方程数的索引(有n+1个方程)。左侧的求和可以互换,亦即,

最后,由于$b_{nk}$是独立于i的,

或者,

其中,

请注意,对于r+k为奇数时,。因为只存在于r+k为偶数,所以n+1个方程的集合可以分成两组,一组用于k为偶数,一组用于奇数。因此,对于5次多项式,其中$n=5$

可用来解$b{50}$、$b{52}$和$b_{54}$,而

可用来解。式VIa方程组与n=4的情况具有相同的形式,所以,而方程组VIb与n=5具有相同的形式,所以,。换言之,,若n与s都是偶数,或者都是奇数。例如,为了确定三次(或四次)曲线的三阶导数的最佳拟合,我们有:

例如,当m = 4(2m + 1 = 9点)时,从式Vc得到

$y_i$的系数构成一个三次多项式的三阶导数的卷积整数,该三次多项式是由最小二乘拟合9点确定。因为a33的值是3!b23,上述表达式中的分母必须除以6,才能得到198这个归一化因子。

在所有上述推导中,假设采样间隔与绝对横坐标间隔相同,也即,$\Delta x = 1$。否则,$\Delta x$的值必须包含在归一化过程中。因此,为了在一组m个值的中心点计算s阶导数,基于n次多项式拟合,我们必须计算

请注意,由于$\Delta x^0 = 1$,在平滑的情况下,时间间隔无关紧要。

本文节选自:Savitzky A, Golay M J E. Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures[J]. Analytical chemistry, 1964, 36(8): 1627-1639.

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